Résoudre une équation différentielle du premier ordre

En physique, on écrit une équation du premier ordre sous la forme :

y^{'} + \frac{1}{τ} y = b avec τ = \frac{1}{a_{0}}

Solutions pour la forme du premier ordre

$y (t) = λ e^{\frac{- t}{τ}} + b τ$ $On determine la constante λ a l’aide d’une condition initiale y (0)$

Interprétation graphique

Si λ < 0 et y (0) = 0 on peut alors ecrire : A (1 - e^{\frac{- t}{τ}}) on obtient une fonction croissante

Pasted image 20241010155938.png
On peut retenir l'avancement suivant :

$$\tau$$	$$3\tau$$	$$5\tau$$
37%	5%	1%

Si λ > 0 et y (0) = 0 on peut alors ecrire : A e^{\frac{- t}{τ}} on obtient une fonction decroissante

Pasted image 20241010155959.png

On peut retenir l'avancement suivant :

$$\tau$$	$$3\tau$$	$$5\tau$$
37%	5%	1%